Thực đơn
Định lý nhị thức Chứng minh định lýĐịnh lý này được chứng minh bằng quy nạp.
Ta có biểu thức P ( n ) : ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n C n k x k {\displaystyle P(n):(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}} (1) với mọi số tự nhiên n.
Đầu tiên tại P(1) đúng.
giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh P ( n + 1 ) : ( 1 + x ) n + 1 = ( 1 + x ) . ∑ k = 0 n C n k x k = ( 1 + x ) {\displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}=(1+x)} và ∑ k = 0 n C n k x k + 1 = ∑ k = 1 n C n k − 1 x k + x n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k+1}=\sum _{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}
áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:
( 1 + x ) n + 1 = 1 + ∑ k = 1 n ( C n k + C n k − 1 ) . x k + x n + 1 = C n + 1 0 . x 0 + ∑ k = 1 n C n + 1 k . x k + C n + 1 n + 1 . x n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 C n + 1 k x k {\displaystyle (1+x)^{n+1}=1+\sum _{k=1}^{n}(C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C_{n+1}^{0}.x^{0}+\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k}.x^{k}+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}x^{k}}
Do đó công thức (1) đúng.
giờ đặt x = b a => ( 1 + b a ) n = ∑ k = 0 n C n k b k a k {\displaystyle x={\frac {b}{a}}=>(1+{\frac {b}{a}})^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}} và do đó ( a + b ) n = a n ( 1 + b a ) n = a n ∑ k = 0 n C n k b k a k = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k {\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}=a^{n}\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}
Ta có điều phải chứng minh.
Thực đơn
Định lý nhị thức Chứng minh định lýLiên quan
Định Định lý Pythagoras Định lý lớn Fermat Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton Định giá chuyển nhượng Định cư ngoài không gian Định mệnh (phim 2009) Định dạng tập tin Định tuổi bằng carbon-14 Định nghĩa (ε, δ) của giới hạnTài liệu tham khảo
WikiPedia: Định lý nhị thức https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Binomi...